Самостоятельная работа 3 по теме "Независимые события"

1.     События U и V независимы. Найдите вероятность наступления события U $ \cap$V, если P(U) = 0, 3, P(V) = 0, 5.

Решение.           

(+)  События называются независимыми, если

P(U  V ) = P(U ) ∙ P( V )

Значит,  P(U  V )  = 0,3 ∙  0,5 = 0,15

 

 

2.    События K и L независимы. Найдите вероятность события K, если P(L) = 0, 9, P(K $ \cap$L) = 0, 72.

 

Решение.           

(+)  Для  независимых событий выполняется равенство

P(К  L ) = P(K ) ∙ P( L )

0,72  = P(K ) ∙ 0,9

P(K ) = 0,72 : 0,9 = 0,8

                               

 

 

 

 

 

3.     Монету бросают два раза. Выпишите все элементарные события этого эксперимента. Событие A — первый раз выпал орел. Событие B — второй раз выпала решка. Найдите вероятность каждого из этих событий и вероятность их пересечения. Являются ли эти события независимыми?

 

Решение.           

(+)  Вероятностное поле  ОО; ОР;   РО;  РР  ( всего 4 события)

А = { ОО; ОР}                         P(А ) = 2 : 4 = 0,5

       B = { ОР;  РР}                          P(В ) = 2 : 4 = 0,5

       (+)  А  В = { ОР }                          P  В ) = 1 : 4 = 0,25

                         P  В) = P(А ) ∙ P( В )

0,25 = 0,5∙ 0,5   верно, значит, являются

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.    Из ящика, где хранятся 5 желтых и 7 красных карандашей, продавец, не глядя, вынимает один за другим 3 карандаша. Найдите вероятность того, что:

а) все карандаши окажутся желтыми;

Решение.           

(+)  Всего событий 

Благоприятных  событий 

Вероятность   10 : 220 = 1/22

б) первые два карандаша — желтые, а третий — красный.

Решение.           

(+)  Всего событий 

Благоприятных  событий 

Вероятность   70 : 220 = 7/22


 

5.    Случайным образом выбирается натуральное число от 1 до 50. Событие C — выбрано четное число. Являются ли события C и D независимыми, если событие D состоит в том, что:

а) выбранное число делится на 7;

Решение.           

(+)  Всего событий  50

Событие C — выбрано четное число.

N(C)= 25;           P(C)= 25 : 50 = 0,5

Событие D -  выбранное число делится на 7

N(D)= 7;           P(D)= 7 : 50 = 0,14

Событие СD -  четное число,  делящееся на 7 

СD = { 14; 28; 42 }     

N(СD)= 3;            P(СD)= 3 : 50 = 0,06

                         P  D) P(C ) ∙ P( D ) , значит,  НЕ независимые


 

б) выбранное число делится на 5.

 Решение.           

(+)  Всего событий  50

Событие C — выбрано четное число.

N(C)= 25;           P(C)= 25 : 50 = 0,5

Событие D -  выбранное число делится на 5

N(D)= 10;           P(D)= 10 : 50 = 0,2

Событие СD -  число  делится на 10 

N(СD)= 5;            P(СD)= 5 : 50 = 0,1

                         P  D) = P(C ) ∙ P( D ) , значит,   независимые

 

Нормы оценок:  «5» - 8(+);  «4» - 6-7(+);  «3» - 4-5(+)

 


 

Самостоятельная работа 4

по теме "Перестановки и факториал числа"

1.    Домашнее задание по литературе состоит в том, чтобы выучить одно из трех стихотворений: "Анчар", "Буря" и "Вьюга". Миша, Никита и Олег решили распределить все три стихотворения между собой по одному. Сколько существует способов это сделать?

Решение.            

(+)  Количество способов соответствует количеству перестановок из трех элементов

  3! = 6

 

2.    Сколько различных последовательностей (не обязательно осмысленных) можно составить из букв слова "книга"?

Решение.           

(+)  Количество последовательностей соответствует количеству перестановок из пяти различных элементов

  5! = 1∙ 2∙ 3∙ 4∙ 5 = 120

 

3.    Вычислите значение выражения:

     (+)      а)  5! = 1∙ 2∙ 3∙ 4∙ 5 = 120

(+)     б) ; 

(+)     в) .

4.    Найдите вероятность того, что три последние цифры случайно выбранного телефонного номера — это цифры  2, 3, 1 в произвольном порядке.

 Решение.           

(+)  Всего событий  (количество  трехзначных чисел с возможным повторением цифр)    

Благоприятных  событий (перестановки из трех цифр) 

Вероятность   6 : 1000 = 0,006

 

Нормы оценок:  «5» - 6(+);  «4» - 5(+);  «3» - 3-4(+)

 


 

Самостоятельная работа 5 по теме "Сочетания"

1. Вычислите: а) C72; б) C129.

2. В классе 20 учеников. Учитель решил проверить домашнюю работу у 6 из них. Сколько существует способов выбрать учеников для проверки?

3. Найдите вероятность того, что все буквы "а" окажутся на своих местах, если случайным образом перемешать и выстроить в ряд все буквы слова "карандаш".

4. На книжной полке 6 учебников и 3 сборника стихов. Найдите вероятность того, что среди случайно выбранных 5 книг окажется 3 учебника и 2 сборника.

 

Примерная контрольная работа

 

Вариант 1

1. В барабане лотереи 20 одинаковых шаров. Шары пронумерованы от 1 до 20. Барабан вращается, и из него выпадает один шар. Найдите вероятность того, что номер шара — четное число.

2. В результате некоторого опыта с вероятностью 0, 63 может наступить событие A, с вероятностью 0, 59 — событие B и с вероятностью 0, 22 — событие A $ \cap$B. Найдите вероятность события A $ \cup$B. Является ли событие A $ \cup$B достоверным?

3. Игральную кость бросают дважды. Найдите вероятность того, что в первый раз выпадет четное число, а во второй — число, большее чем 3.

4. В экзамене 6 вопросов. К каждому вопросу дано 2 варианта ответов, из которых только один вариант верный. Найдите вероятность того, что, отвечая наугад, ученик правильно ответит хотя бы на один вопрос.

5. В кармане у Буратино 5 золотых и 6 серебряных монет. Все монеты одинаковы по форме и размеру. Буратино, не глядя, вынимает из кармана 5 монет. Найдите вероятность того, что все эти монеты — золотые.

 

Вариант 2

1. Слово "Математика" написали на картонке и разрезали картонку на буквы. Буквы перемешали. Найдите вероятность вытащить наудачу картонку с гласной буквой.

2. В результате некоторого опыта с вероятностью 0, 78 может наступить событие A, с вероятностью 0, 34 — событие B и с вероятностью 0, 11 — событие A $ \cap$B. Найдите вероятность события A $ \cup$B? Верно ли, что событие A $ \cup$B достоверное?

3. Игральную кость бросают дважды. Найдите вероятность того, что в первый раз выпадет нечетное число, а во второй — число, меньшее чем 3.

4. В экзамене 5 вопросов. К каждому вопросу дано 2 варианта ответов, из которых только один вариант верный. Найдите вероятность того, что, отвечая наугад, ученик даст хотя бы один неверный ответ.

5. В вазочке на шкафу 4 конфеты с фруктовой начинкой и 5 — с молочной. Все конфеты одинаковы по форме и размеру. Маша дотянулась рукой до вазочки и, не глядя, выбирает 5 конфет. Найдите вероятность того, что все выбранные конфеты имеют молочную начинку.

 

Hosted by uCoz